“Hay una solución al problema del embedding de Connes con herramientas de informática teórica muy difícil de verificar. Una de mis obsesiones es demostrarlo de forma analítica”

Entrevista a Gilles Pisier, codirector de uno de los Laboratorios ICMAT – Severo Ochoa

Gilles Pisier es catedrático emérito de la Universidad Texas A&M (EE. UU.) y de la Universidad de la Sorbona (Francia). Sus trabajos en análisis funcional, probabilidad y álgebras de operadores le han valido numerosos reconocimientos y premios, como el Premio Salem en 1979 y el Premio Ostrowski en 1997. Sus investigaciones han influido en áreas muy diversas del análisis armónico, las álgebras de von Neumann o la geometría de los espacios de Banach. Pisier obtuvo su doctorado en 1977 bajo la supervisión del célebre analista Laurent Schwartz –Medalla Fields en 1950–, en la Université Paris VII (Francia). Miembro de la Academia de Ciencias de París, Pisier es, junto a Mikael de la Salle (CNRS y Université de Lyon), el director de uno de los nuevos Laboratorios ICMAT – Severo Ochoa. Hablamos con él en su visita al ICMAT, durante la que impartió dos conferencias, dentro del ciclo Distinguished Lectures del centro, celebrado el 23 de mayo.

Ágata Timón y Laura M. Iraola (ICMAT-CSIC)

¿Se considera usted analista o probabilista?

Principalmente trabajo en análisis, pero siempre me gustó la probabilidad. Además, mi director de tesis, Laurent Schwartz, me animó a adentrarme en la probabilidad. Él fue claramente un analista y no trabajó en probabilidad, pero también se sentía muy atraído por el campo. Hubo un periodo en el que los probabilistas me consideraron uno de los suyos –tengo que decir que eran una comunidad muy abierta-; fue cuando trabajaba en probabilidad en espacios de Banach, una mezcla de probabilidad y análisis funcional, que fue un subcampo popular en los años 1970. En ese momento, incluso me nombraron fellow del Instituto de Estadística Matemática (IMS), que es una distinción que reciben cada año los mejores probabilistas.

«Los probabilistas me consideraron uno de los suyos, eran una comunidad muy abierta»

Como analista, ¿entra dentro de los problems solvers (solucionadores de problemas) o de los theory builders (creadores de teoría)?

En principio, creo que encajo más en la categoría de solucionadores de problemas, aunque esa distinción es discutible. Me gusta trabajar en problemas que han resistido durante décadas y normalmente paso mucho tiempo trabajando en ellos sin avanzar, intentando encontrar un nuevo ángulo de ataque. En lugar de usar la “fuerza bruta” –como hacen algunos matemáticos a quienes admiro mucho–, prefiero tomarme mi tiempo.

Usted dijo que su investigación tiene, como hilo conductor, la interacción de fenómenos aleatorios en estructuras algebraicas (conjuntos de vectores aleatorios, matrices aleatorias y operadores aleatorios, etc.). ¿A dónde le ha llevado esta perspectiva?

El mejor ejemplo para ilustrar esto está en mis trabajos con las series aleatorias de Fourier. Walter Rudin planteó el siguiente problema: encontrar una caracterización de los llamados conjuntos de Sidon de enteros, como conjuntos Λ(p), con la constante Λ(p) creciendo como la raíz cuadrada de p, cuando p tiende a infinito. Resolví el problema muy fácilmente usando la llamada condición de entropía métrica, que caracteriza los procesos gaussianos acotados. La conexión surgió al ver las series aleatorias de Fourier simplemente como procesos gaussianos estacionarios. Aquella fue una aplicación bastante inesperada de la probabilidad al análisis armónico, y me valió el Premio Salem. En retrospectiva, puede parecer muy simple, pero unos años más tarde trasladé estas ideas para obtener una caracterización puramente aritmética de los conjuntos de Sidon (Bull. A.M.S. (1983) 87—90), una cuestión más profunda, por la que logré que se interesara el célebre matemático Paul Erdős.

«Me gusta trabajar en problemas que han resistido durante décadas, y normalmente paso mucho tiempo trabajando en ellos sin avanzar, intentando encontrar un nuevo ángulo de ataque»

¿Qué problemas le interesan hoy en día?

Para mí, los problemas más emocionantes tienen que ver con la estimación de normas de matrices aleatorias con coeficientes operadores (o matriciales). En concreto, estoy pensando en el trabajo de Charles Bordenave y Benoît Collins, así como en el de Ramon van Handel y sus colaboradores sobre la convergencia fuerte de las matrices aleatorias. Además, el trabajo de Michael Magee sobre los “limit groups” y su trabajo con Mikael de la Salle me ha impresionado mucho.  Gracias a estas aportaciones, las cosas están avanzando muy rápidamente en este frente, que fue iniciado por Uffe Haagerup y Steen Thorbjørnsen hace unos 20 años.

El principal objeto de interés del Laboratorio ICMAT que dirige son los espacios Lᵖ no conmutativos: ¿podría explicar qué son y por qué interesan a la comunidad investigadora?

Los espacios Lᵖ habituales son omnipresentes en el análisis clásico, ya sea funcional o armónico. Se remontan a Henri Lebesgue (de ahí viene la “L”) y están asociados a un espacio con medida. Son una herramienta fundamental en la teoría de la medida, por ejemplo, en el estudio de acciones de grupos sobre espacios con medida.

De forma natural, surgió una teoría paralela de espacios Lᵖ, adaptada a grupos no conmutativos, y esto llevó a John von Neumann a introducir y estudiar extensamente (junto con Francis Murray) las álgebras que hoy llevan su nombre. Aunque su estudio se enmarca dentro de las matemáticas puras, su motivación original fue sentar las bases de la mecánica cuántica. Las álgebras de von Neumann se consideran hoy análogos no conmutativos de los espacios de medida, donde los denominados funcionales traza reemplazan a la noción clásica de medida. Esto lleva, de forma natural, a la noción de espacios Lᵖ no conmutativos.

¿Qué problemas van a abordar en el Laboratorio?

Es difícil señalar un único objetivo principal: en este momento, cada uno de nosotros tiene sus propias obsesiones. Actualmente, mi problema favorito –mi obsesión personal– es el problema del embedding de Connes, y en particular, saber si la existencia del levantamiento local implica levantamiento global. Es el tema que he presentado en mi Distinguished Lecture. Hay una solución a este problema, de hace cinco años, proveniente de la informática teórica y la teoría de la complejidad, que utiliza ideas desde una perspectiva muy ajena al análisis. Es un campo muy distinto del nuestro, incluso diferente de lo que consideran matemáticas los matemáticos puros. Nadie ha podido, de momento, verificar la solución. Hay motivos para creer que es correcta, pero es muy complicado asegurarlo: son 200 páginas y usan ideas de un campo completamente ajeno al problema. Para mí, el objetivo ahora es volver a abordar el problema desde el punto de vista del análisis y encontrar otra demostración. Este es uno de los temas en los que trabajaremos en el laboratorio.

Otro ejemplo es otro problema de Connes, que interesa mucho a Javier [Parcet] y a Mikael [de la Salle], y que no tiene nada que ver con el anterior. Trata sobre grupos discretos con la propiedad (T). Esta cuestión (el problema de rigididez de Connes) consiste en determinar si el álgebra de Von Neuman de estos grupos encapsula la estructura del grupo. El estudio de las propiedades de aproximación de los espacios Lᵖ no conmutativos para esos grupos puede proporcionar nuevos avances significativos. Durante estos días, tuve ocasión de ponerme al día sobre el trabajo en curso de Parcet, de la Salle y Tablate. En conjunto, están intentando obtener información muy novedosa sobre multiplicadores Lᵖ de Fourier y Schur sobre espacios euclídeos y retículos semisimples, con un ojo puesto en la conjetura de rigidez de Connes.

‘Esperamos que todas las personas más destacadas [de los espacios Lᵖ no conmutativos] participen de una forma u otra en nuestro Laboratorio’

Para enfrentar estos retos, ¿cuáles diría que son las principales fortalezas del Laboratorio?

El tamaño del campo (de los espacios Lᵖ no conmutativos) y de la comunidad relacionada es relativamente pequeño, así que podemos esperar que todas las personas más destacadas del campo participen de una forma u otra en nuestro Laboratorio.

¿Cómo y cuándo conoció a Mikael de la Salle (Université de Lyon, Francia) y a Javier Parcet?

Mikael de la Salle fue mi estudiante de doctorado. Di una conferencia sobre martingalas en espacios de Banach en la École Normale Supérieure, pensada, en parte, para atraer posibles doctorandos, y debió de gustarle, porque vino a hablar conmigo y me pidió que le dirigiera su tesis. Resultó ser muy fácil, rápidamente se hizo evidente su extraordinario talento para la investigación. Tras doctorarse en 2009, ha sido un placer seguir sus logros matemáticos y, de vez en cuando –aunque no muy a menudo–, conversar con él sobre matemáticas. Siempre he aprendido mucho de nuestros intercambios, especialmente en lo relacionado con matrices aleatorias.

Por otro lado, conocí a Javier Parcet muy al comienzo de su carrera. Françoise Piquard me habló por primera vez de su trabajo. Lo invité a dar un seminario en París poco después de que terminara su tesis doctoral. Más adelante, pasó unos meses como investigador postdoctoral en Texas A&M, y colaboramos en un par de artículos, aunque yo estaba allí solo parte del tiempo. Luego continuó su estancia en EE.UU. en la Universidad de Illinois en Urbana, trabajando con Marius Junge –que también será un colaborador del Laboratorio–, y juntos desarrollaron muchos trabajos sobre temas que también fueron de gran interés para mí. En particular, ampliaron considerablemente el alcance de una noción que yo había introducido: los espacios Lᵖ no conmutativos con valores vectoriales. Así que, naturalmente, seguimos todos en estrecho contacto desde entonces.

¿Podría mencionar algunos matemáticos que le han influido en su carrera?
Durante los primeros años colaboré intensamente con Bernard Maurey, que era dos o tres años mayor que yo, y me beneficié enormemente de todo lo que aprendí de él. Más tarde recuerdo que Nicolas Varopoulos me animó mucho. Lo recuerdo como uno de los primeros matemáticos famosos que me dijo que realmente le interesaba mi trabajo. Aunque probablemente hubo otros que lo apreciaron en silencio, la mayoría de los matemáticos son muy reservados. Pero el apoyo de Varopoulos fue importante para que ganara más confianza en mí mismo. Entre los probabilistas, Donald Burkholder, y entre los teóricos de espacios de Banach, Joram Lindenstrauss y Lior Tzafriri también me apoyaron. En particular, Lindenstrauss y Tzafriri me invitaron a visitar Jerusalén durante dos meses a finales de 1974.

En esa época, de cierta manera, yo aún era un estudiante de doctorado —defendí mi tesis en 1977, habiendo comenzado en 1972—. Había ingresado al CNRS en 1972, únicamente por mis buenas calificaciones en los estudios de posgrado. Esto no era nada inusual en esa época. Había poco incentivo, y ninguna prisa, para pasar el trámite administrativo de defender la tesis. ¡Las cosas han cambiado mucho! En cualquier caso, tan pronto comencé a publicar artículos, los matemáticos consagrados con los que me encontraba en congresos me trataron como colega, y eso lo aprecié mucho.

«Ha sido un privilegio increíble haber convertido mi pasión en una profesión»

Mirando hacia atrás, ¿qué diría que ha sido lo más valioso que las matemáticas le han aportado, tanto personal como profesionalmente, a lo largo de su carrera?

Probablemente mi respuesta no sea muy original: ha sido un privilegio increíble poder dedicar casi todo mi tiempo a mi pasatiempo favorito. He convertido mi pasión en una profesión.

 

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