Un método para cazar primos inspirado en el décimo problema de Hilbert

 

Horizontes de las matemáticas con Ken Ono (Universidad de Virginia, EE UU)

 

Un nuevo enfoque basado en teoría de particiones permite construir ecuaciones diofánticas modificadas cuyas únicas soluciones enteras son los números primos. Ken Ono (Universidad de Virginia, EE UU) presenta sus resultados en el próximo Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UCM-UAM, el 9 de mayo a las 12:30.

Ágata Timón García-Longoria (ICMAT-CSIC)

Hace 125 años, el matemático David Hilbert puso el foco en la siguiente pregunta: ¿Existe un método para decidir si una ecuación diofántica, es decir, una ecuación en la que tanto los coeficientes de la ecuación como las soluciones que se buscan son números enteros, tiene solución o no? El problema, el número 10 en la Lista de Hilbert, fue respondido en la década de 1970, de forma negativa, por Yuri Matiyasevich. No hay un método, o algoritmo, general que funcione siempre.

“Una cuestión muy curiosa del teorema de Matiyasevich es que implica una cuestión disparatada: existe un polinomio cuyos valores positivos son los números primos”, afirma Ken Ono, catedrático de la Universidad de Virginia (EE UU). Este polinomio fue descubierto por James P. Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada y Douglas Wiens en 1976 (en la imagen).

Pese a la fama que tuvo la lista de Hilbert dentro de la comunidad matemática, muchos de los problemas incluidos, especialmente aquellos ya resueltos, han caído en el olvido. El año pasado, Ono estaba en un congreso y se dio cuenta de que los estudiantes de posgrado desconocían el famoso trabajo de los años setenta sobre el décimo problema de Hilbert. “Unos días después, empecé a preguntarme si habría otros detectores de primos similares, que no fueran tan delirantes como el polinomio de Wada y sus colaboradores. Unas semanas más tarde asistí a otro congreso en Colonia (Alemania), donde discutí el problema con mi antiguo alumno Will Craig y Jan Willem van Ittersum, investigador posdoctoral”, relata.

En pocos minutos tuvieron una idea que resultó ser clave para idear análogos más manejables de este extraño polinomio. Su trabajo, incluido en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS), es uno de los finalistas del Premio Cozzarelli 2025, que reconoce el mejor artículo publicado cada año en la revista, en diferentes disciplinas. El próximo viernes, 9 de mayo, a las 12:30, Ono presentará estos resultados en el coloquio conjunto de matemáticas, bajo el título de Partitions detect primes. Será en el Aula 520 del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM).

En vez de considerar ecuaciones diofánticas clásicas, Ono y sus colaboradores emplean ecuaciones diofánticas especiales en las denominadas funciones de particiones. Las particiones son formas de dividir un objeto. Por ejemplo, las particiones de un número entero positivo n son las maneras de escribir n como suma de enteros positivos (sin importar el orden de los sumandos). Así, las cinco particiones del número 4 son: 1+1+1+1, 2+1+1, 3+1, 2+2 y 4.

“A primera vista, el asunto de las particiones parece un juego de niños”, explica Ono. “Sin embargo, como ocurre a menudo en la teoría de números, un sencillo concepto conduce rápidamente hermosos e interesantes problemas. Las particiones aparecen en áreas tan diversas de las matemáticas como la combinatoria, la teoría de Lie, la teoría de la representación, la física matemática o la teoría de funciones especiales. El proceso de descomponer números en sumas surge de forma fundamental al estudiar las permutaciones –es decir, los reordenamientos de conjuntos– o las simetrías de los objetos”, detalla.

Las particiones también son la clave de estas nuevas ecuaciones diofánticas especiales que detectan números primos. “Los números primos, ladrillos básicos de los números naturales, resultan ser las soluciones de infinitas ecuaciones diofánticas especiales, en funciones de partición muy bien conocidas”. En su trabajo, dan varias expresiones de este tipo (en la imagen inferior se muestran varios ejemplos), cuyas soluciones enteras mayores que uno son, exactamente, los números primos.

“Esto se puede utilizar para localizar primos, de varias formas –más allá de encontrar valores de n que hagan valer 0 la expresión y comprobar que n es primo–. También se pueden codificar estas ecuaciones como integrales de contorno de tipo Cauchy que dependen de n. Tales integrales desaparecen únicamente si n es primo”, explica Ono. Como método para rastrear primos, estas nuevas expresiones son mucho más eficientes que el polinomio de 1976. Sin embargo, no es tan rápido como otras pruebas de primalidad o la criba de Eratóstenes.

Sus avances tienen otras implicaciones en el estudio de los grupos simétricos. “De hecho, nuestra contribución principal, de la que se derivan estas cuestiones sobre los primos, a primera vista no parece tener ninguna relación con ellos. Obtuvimos un nuevo conjunto de generadores del espacio de las llamadas formas cuasimodulares. Nuestros generadores están diseñados para capturar particiones, lo que nos permitió demostramos que todas las formas cuasimodulares son expresiones explícitas en particiones”, afrima Ono. “Esta nueva perspectiva es para muchos la principal aportación de nuestro trabajo; la consecuencia sobre los primos sería su primera aplicación”, admite.

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