Un nuevo estudio, llevado a cabo por investigadores del ICMAT, de la Universidad Nacional del Sur (Argentina) y de la Universidad Friedrich-Alexander Erlangen-Nürnberg (Alemania), desarrolla técnicas matemáticas para encontrar trayectorias óptimas con condiciones iniciales y finales dadas. Proponen un algoritmo basado en métodos variacionales discretos, que preservan propiedades clave del sistema físico y permiten una implementación eficiente con computación paralela. La herramienta se está integrando en proyectos reales de navegación con datos meteorológicos y oceanográficos.
Las nuevas herramientas matemáticas se están utilizando para calcular rutas reales de barcos que reducen consumo de combustible.
Ágata Timón (ICMAT)
En 1931, el matemático alemán Ernst Zermelo se preguntó cómo navegar un barco, desde un punto inicial a otro final, empleando el mínimo tiempo posible, teniendo en cuenta la influencia de un campo de velocidad externo, como el viento o una corriente. En la mayoría de los casos, es imposible encontrar una solución exacta a esta cuestión clásica, por lo que el objetivo es encontrar buenas aproximaciones numéricas. Además, si las condiciones iniciales y finales están suficientemente alejadas, el problema se hace mucho más complejo. Recientemente, un grupo internacional de investigadores ha obtenido resultados que pueden facilitar la búsqueda de soluciones de estos problemas.
Los métodos teóricos desarrollados en el nuevo estudio, que se publican ahora en la revista Journal of Computational Dynamics, pueden aplicarse a muchas otras cuestiones. Por ejemplo, “hallar rutas de navegación que empleen el mínimo combustible posible con potenciales aplicaciones en navegación marítima, astrodinámica, robótica…”, explica David Martín de Diego, investigador del CSIC en el ICMAT y autor del estudio, junto con Sebastián Ferraro (Universidad Nacional del Sur y CONICET, Argentina) y Rodrigo Sato Martín de Almagro (Institute of Applied Dynamics de la Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Alemania). Sus herramientas matemáticas se están utilizando en un proyecto interdisciplinar para calcular rutas reales de barcos con datos oceanográficos y meteorológicos, que reducen sustancialmente el combustible empleado.
Además, su algoritmo puede implementarse utilizando computación paralela –en la que varios cómputos se ejecutan simultáneamente–, lo que mejora su rendimiento, es decir, es más rápido y emplea menos recursos. “Esto es importante, ya que los procesadores principales de un ordenador (las CPU multinúcleo) y, sobre todo, las tarjetas gráficas (GPU), están diseñados para la computación paralela”, afirma Martín de Diego.
En busca de máximos y mínimos
Desde el punto de vista matemático, este tipo de cuestiones se enmarca dentro de los problemas variacionales, una rama del cálculo que busca encontrar la trayectoria o configuración que minimiza (o maximiza) cierta cantidad —en este caso, el tiempo de viaje o el consumo de combustible—. El planteamiento formal implica definir un funcional, es decir, una función que asigna a cada trayectoria un número real, que puede ser, por ejemplo, el tiempo total recorrido por una ruta determinada. Resolver el problema consiste en encontrar la trayectoria que tiene asignado el valor mínimo (o máximo), teniendo en cuenta restricciones impuestas por un campo de velocidad, obstáculos o condiciones físicas del entorno.
Como suele ser inviable resolver estos problemas de forma exacta, es preciso recurrir a métodos numéricos que permiten obtener soluciones aproximadas. “Un aspecto fundamental en matemáticas es garantizar que las soluciones obtenidas aplicando estas técnicas se aproximan a la solución buscada”, declara Martín de Diego.
“Existen numerosos métodos numéricos que podrían aplicarse a un determinado problema, pero hay algunos que se adaptan mejor, ya que mantienen algunas de las propiedades del sistema inicial”, afirma el matemático. En particular, en este trabajo se emplean métodos variacionales discretos, que representan las trayectorias mediante puntos separados por pequeños intervalos de tiempo. En lugar de discretizar directamente las ecuaciones diferenciales que describen el sistema —lo que puede hacer perder propiedades clave, como la conservación de energía o momento—, estos métodos discretizan el principio variacional subyacente, lo que asegura que las soluciones aproximadas retengan importantes características geométricas y físicas del sistema original.
Referencia
Sebastián J. Ferraro, David Martín de Diego, Rodrigo T. Sato Martín de Almagro. A parallel iterative method for variational integration. Journal of Computational Dynamics. doi: 10.3934/jcd.2025006
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