- Se trata de una conjetura sobre una clase especialmente compleja y relevante de estructuras algebraicas.
- Las novedosas técnicas que han desarrollado pueden aplicarse a muchos otros contextos dentro de la teoría de grupos.
- Los autores del estudio, publicado en la revista Annals of Mathematics, son Marco Linton y Andrei Jaikin-Zapirain, investigadores del ICMAT.
Marco Linton y Andrei Jaikin (en la imagen, de izquierda a derecha) son especialistas en teoría de grupos. Imagen cedida por los investigadores.
Durante más de cinco décadas, una pregunta formulada por el matemático Gilbert Baumslag ha desafiado a quienes estudian la teoría de grupos, una rama de las matemáticas que formaliza la idea de simetría. Ahora, en un artículo publicado en la revista Annals of Mathematics, Andrei Jaikin, Profesor de Investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y Marco Linton, investigador posdoctoral Severo Ochoa del CSIC en el ICMAT, han dado una respuesta definitiva a esa cuestión.
El resultado trata sobre ciertos grupos infinitos, que pueden describirse mediante algo parecido a una receta (que se denomina presentación). En ella, los ingredientes serían un conjunto finito de generadores, entre los cuales existe una sola relación algebraica. «Desde el punto de vista de las presentaciones finitas, estos grupos, denominados presentados con una relación, son el caso más sencillo a estudiar, después de los grupos libres, que no tienen ninguna relación. Sin embargo, sorprendentemente, ya presentan una enorme complejidad», explica Marco Linton.
Tienen, además, un comportamiento impredecible. Algunos exhiben propiedades consideradas patológicas y no cumplen condiciones geométricas que los hacen más manejables, como la hiperbolicidad. Pero, por otro lado, «son muy adecuados para hacer cálculos con computador y suelen usarse como banco de pruebas para explorar nuevas conjeturas», añade Linton.
Este fue el caso de la conjetura de Baumslag. Propuesta en 1974, afirma que todos los grupos presentados por una relación son coherentes. Esto significa que todos sus subgrupos, generados de forma finita, también pueden describirse mediante una presentación finita, algo que no es cierto en general. La coherencia es una propiedad clave porque, cuando se da, es posible aplicar herramientas algebraicas y geométricas con más facilidad para estudiar los grupos. «Las herramientas de la teoría combinatoria y geométrica de grupos suelen estar diseñadas solo para grupos finitamente presentados. Saber que una clase de grupos es coherente permite extender esas herramientas a sus subgrupos», explica Linton.
La conjetura atrajo la atención durante décadas, tanto por su dificultad como por su relevancia. «Cualquier persona que trabajase en grupos presentados con una relación tenía siempre esta pregunta en la cabeza», asegura Linton. “Haberla probado muestra que este tipo de grupos admite alguna estructura. Esto es muy llamativo, si se considera que, por ejemplo, no hay ningún teorema que sea válido para todos los grupos presentados con dos relaciones”, declara Linton.
Una nueva vía, una vieja pregunta
En su demostración de la conjetura de Baumslag, Linton y Jaikin dieron con un nuevo enfoque: en lugar de usar los métodos topológicos o combinatorios habituales, recurrieron a herramientas denominadas homológicas. En concreto, demostraron que los subgrupos generados finitamente de los grupos presentados con una relación son de cierto tipo— FP₂, es decir, presentables desde el punto de vista de la homología algebraica—, y luego probaron que eso basta para garantizar que son también finitamente presentados.
Este cambio de perspectiva se apoyó en un trabajo previo de Jaikin: «El impulso inicial para nuestro trabajo vino de una demostración de Andrei sobre la coherencia homológica de los grupos de una relación sin torsión [que ahora se incluye como parte del artículo de Annals of Mathematics]. Al leer su prueba, se me ocurrió cómo generalizarla a la coherencia completa. De esa manera, surgió una colaboración que nos llevó a simplificar y extender las ideas, de forma muy rápida», cuenta Linton.
La colaboración entre los investigadores se llevó a cabo íntegramente en línea: no se conocieron personalmente hasta meses después de concluir su artículo. Luego, Linton se incorporó al ICMAT como investigador postdoctoral, donde ambos han iniciado nuevos proyectos conjuntos sobre variantes más refinadas de la coherencia.
Más allá de la conjetura
Las nuevas técnicas introducidas en el artículo ya están siendo empleadas para abordar otros problemas. «Nuestro enfoque homológico es aplicable a una clase mucho más amplia de grupos», dice Linton. «El verdadero valor del trabajo no está solo en la solución de la conjetura, sino en las herramientas que ahora están disponibles para seguir explorando el territorio», concluye.
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